Bab 5 pengantar ekonometrika

BAB V

ANALISIS REGRESI SEDERHANA

Ketergantungan variabel terikan pada variabel-variabel bebas dalam bentuk yang speseifik. Bentuk fungsi itu bisa linear, kuadrattik, logaritma, eksponensial, atau hiperbola.

5.1. Hubungan stokastik  dan Nir-stokastik (uji tidak pasti)

            Hubungan antara x dan y yang dibentuk Y = f (x) dikatakan “deteministik” pasti atau “nir-stokastik”, jika setiap nilai variabel bebas (X) terdapat satu nilai variabel terikat (Y). Suatu hungan antara X dan Y dikatakan “stokastik”, jika suatu nilai X tertentu terdapat distribusi probabilitas menyeluruh dari nilai Y.

Contoh :

Peemintaan suatu barang tertentu, diansumsikan, tergantung pada harga barang itu saja (faktor penentu lainya dianggap konstan, atau ceteris paribus), dan bentuk fungsinya adalah linear.

                        Q= f(p) =  a + bp

Dengan data p dan q tertentu misalnya diperoleh a = 25 dan b = -2, sehingga persaman permintaan itu menjadi q= 25-2p

Hubungan antara p dan q diatas menunjukakan setiap nilai p tertentu misalnya 2 satuan hanya ada 1 nilai q, yaitu 21 satuan. Jika harga p adalah 5 satuan, maka jumlah barang yang diminta menjadi 15 satuan dan seterusnya.

Hubungan pasti (exact) atau hubungan deterministik antara p dan q ini tidak pernah sesuai dengan dunia nyata.

5.2. Model Regresi Linear Sederhana

            Bentuk paling sederhana dari hubungan slokasok antara dua variabel X dan Y disebut “model regresi linear”.

                        Y_i = a + bX_i  + U_i ( i = 1,...,n)

Y disebut variabel terikat (dependent variabel), X adalah variabel bebas (independen variabel) atau variabel _peinjelas (explanatory variabel), U adalah variabel gangguan stokastik (stochastic disturbance), a dan b adalah parameter – parameter regresi. Subskrip i menunjukan pengamatan yang ke-i. Parameter a dan b ditaksir atas dasar yang data yang tersedia untuk variabel X dan Y.

Asumsi 1. Ui adalah sebuah variabel random riil dan memiliki distribusi normal.

Asumsi 2. Nilai rerata dari Ui setiap periode tertentu adalah nol.

                 E[Ui] = 0                                        (i = 1,......,n).

Asumsi 3. Varian dari U_i adalah konstan setiap periode.

                  E[U_i²] = σ²             (σ² adalah konstan)

                  Asumsi ini dikenal sebagai asumsi “homoskedasstisitas” ( homoscedasticity)

Asumsi 4. Faktor gangguan dari pengamatan yang berbeda-beda (U_i, U_j) tidak tergantung 

                 (independent)

                 E[U_i U_j] = 0                                               (i ≠ j)

                 Asumsi ini dikenal sebagai asumsi “nir-otokorelasi” (nonautocorrelation)

Asumsi 5. Variabel-variabel penjelas/bebas adalah variabel nir- stokastik dan diukur tanapa

                  kesalahan; U_i tidak tergantung pada variabel penjelas/bebas.

                  E[X_i U_j] = X_i [E_i U_j] = 0 untuk seluruh i,j = 1, ......,n

            Pengaruh asumsi pertama sampai ketiga terhadap distribusi probabilitas dari variabel terikat Y dirangkum berikut ini:

a.       Dalam persamaan Y_i = α + βX_i + U_i: Y_i merupakan fungsi dari U_i. Karena  U_i. Diasumsikan berdistribusi normal maka Y_i berdistribusi normal.

b.      Y_i = α +β X_i + U_i:          jadi E[Y_i] = E[α + β X_i + U_i]

    = α +β X_i                  {karena E[U_i] = 0}

 Oleh karena itu rerata dari Y₁ atau E[Y_i] ditentukan oleh (α + β X_i)

c.       Var (Y_i)           = E [Y_i  - Ӯ]² =            E [Y_i – E[Y_i]]²

= E [α +β X_i + U_i  - (α + β X_i)]²

= [U_i]²

= σ²                 karena E[U_i]² = σ²

            Jadi varian Y_i = σ²     

Dengan mengabaikan (untuk sementara bahwa teori tersebut mungkin tidak benar, alasan penyisipan faktor U adalah :

a.       Karena kesalahan dalam persamaan

Misalnya, model Y= α + βX + U: Y menunjukkan pengeluaran konsumsi, dan X adalah penghasilan siap pakai (disposibel income). Model ini menyatakan pengeluaran konsumsi tergantung sepenuhnya pada penghasilan siap pakai.

b.      Karena kesalahan dalam pengukuran (kesalahan dalam variabel)

Alasan lain untuk memasukkan faktor U adalah karena faktor gangguan dapat mewakili kesalahan-kesalahan dalam pengukuran baik dalam pencatatan, pengumpulan maupun dalam pengolahan data X dan Y.

c.       Kerena ketidak sempurnaan spesifikasi bentuk matematis modal

Bentuk persamaan yang sebenarnya mungkin bukan linear. Terdapat beberapa persamaan yang sesungguhnya termasuk dalam model, tetapi tidak dimasukkan. Pada hakikatnya fenomena ekonomi jauh lebih komples dari hanya sekedar suatu persamaan tunggal.

d.      Karena agregasi

Untuk melakuakan spesifikasi model harus diperhatikan tiga hal berikut:

1.      Bentuk matematis hubungan antara variabel-variabel dalam model

2.      Distribusi probabilitas faktor gangguan

3.      Hakikat nilai-nilai variabel penjelas/variabel bebas

5.3 penaksiran parameter-parameter regresi

Yang dimaksud penaksiran α dan β dengan metode kuadrat terkecil (OLS = Ordinary Least Squares) atau kuadrat terkecil klasik (CLS = Classical Least Squares) adalah menemukan nilai-nilai taksiran α dan β yang meminimumkan jumlah kuadrat residu:

Dari garis regresi sampel Y = α’+β’X¡+e¡; di peroleh :

e¡=Y¡-(α’+β’X¡)

Pentingnya sifat BLU

A.     LINEAR

Sifat ini dibutuhkan untuk memudahkan perhitungan dalam penaksiran.

B.     UNBIASADNESS

Secara sendirian sifat ini tidak berguna.satu-satunya jaminan dari sifat ini adalah bila jumlah sampel sangat besar,penaksir parameter diperoleh dari sampel besar kira-kira lebih mendekati nilai parameter sebenarnya.

C.     BEST

Sifat varian terkecil secara sendirian tidak dibutuhkan karena suatu taksiran memiliki penyimpangan yang besar (enormous bias).sifat varian minimum dibutuhkan bila dikombinasikan dengan sifat tidak bias (unbiasadness).pentingnya sifat ini kelihatan bila diterapkan dalam uji signifikansi baku (standard) terhadap α’ dan β’,serta membuat interval keyakinan taksiran-taksiran.

Penaksir linier kuadrat terkecil (Ordinary Least Square) yang memenuhi persyaratan seluruh asumsi klasik dinamakan penaksir yang BLUE (Best Linier Unbiased Estimator).kesimpulan ini merupakan teorema Gauss-Markov.

5.5. Penaksir maksimum likelihood (maximum likelihood estimator)

Ada dua hal penting yang diamati dari hasil penurunan (derivasi) subbab 5.3 dan 5.4 yaitu:

a.untuk membuktikan sifat BLU penaksir kuadrat terkecil tidak semua asumsi klasik dipergunakan.misalnya untuk membuktikan sifat linieritas diperlukan asumsi kovarian antara factor gangguan dan variabel bebas E[X¡U¡]=0.sifat unbiasadness memerlukan asumsi tersebut bersama-sama dengan asumsi bahwa rerata dari factor-faktor gangguan adalah nol, {E[X¡U¡]=0 dan E[U¡]=0}.

Derevasi dari varian dari parameter dan sifat varian minimum tergantung pada asumsi-asumsi yang berkaitan dengan sifat homoskedastisitas dan nir-otoregresif dari factor-faktor gangguan {E[U¡²]=σ² dan E[X¡U¡]=0}.

B.untuk membuktikan sifat-sifat BLU tidak perlu dibuat asumsi bentuk spesifik dari distribusi factor-faktor gangguan.kenyataannya asumsi normalitas dari U tidak diperlukan untuk membuktikan α’ dan β’ sebagai BLUE.

5.6 Distribusi Sampel Penaksir Kuadrat Terkecil  

Oleh karena penaksir-penaksir kuadrat terkecil merupakan kombinasi linier variabel-variabel normal Y₁,Y₂,Y₃,…Yn tidak saling tergantung,maka α’ dan β’ juga berdistribusi normal,dengan sifat-sifat sebagai berikut:

a.α’ dan β’ adalah penaksir-penaksir yang tidak bias,yaitu merata masing-masing sama dengan nilai α dan β yang sebenarnya.

b.varian dari setiap penaksir,

5.7. Interval keyakinan dan uji Hipotesis

Penyusun interval keyakinan (confidence intervals) penting untuk memperoleh ketepatan α’ dan β’. Untuk itu, semua informasi yang berhubungan dengan distribusi α’ dan β’ sudah di bahas. 

                                                               .

Goodness of Fit (R²)

Goodness of fit menjelaskan tentang garis regresi sebagai suatu keseluruhan dan diuji kebenaran letak taksirannya. Variasi (perubahan) Yᵢ dalam dua komponen, yaitu “yang bisa dijelaskan” (explained) dan “yang tak bisa dijelaskan”(unexplained). Dari uraian sebelumnya diketahui:

          

Untuk seluruh pengamatan, persamaan ini akan menjadi:

           ∑ (Y¡ - Ÿ)       =  ∑ (Ŷ¡ - Ÿ) + ∑e¡

           ∑ (Y¡ - Ÿ)²      =  ∑ [(Ŷ¡- Ÿ) + e¡]²

                                   =  ∑ (Ŷ¡ - Ÿ² + 2∑ (Ŷ¡ - Ÿ)e¡+ ∑e¡²

Tapi    ∑ (Ŷ¡ -Ÿ)e¡     =  ∑ (ά + βˆX¡ - Ÿ)e¡

                                   =  ά∑e¡ + βˆ∑X¡e¡ - Ÿ∑e¡

                                   =  0 (karena ∑e¡ = 0 dan ∑X¡e¡ = 0)

           ∑ (Ŷ¡ -Ÿ)²       =  ∑ (ά + βˆX¡ - Ÿ)²

                                   =  ∑[(Ÿ - βˆX) + βˆX¡ - Ÿ)²

                                   =  ∑ [βˆ(X¡-X)]²

                                   =  βˆ²(X¡-X)²

Jadi,   ∑ (Y¡ - Ÿ)       =  βˆ² (X¡-X)² + ∑e¡²

          

Pelaporan Hasil-hasil Analisis Regresi

Hasil-hasil analisis regresi dilaporkan dalam bentuk (format) yang konvensional. Koefisien-koefisien regresi bersama-sama dengan kesalahan standar (standard errors) dan nilai R² harus dilaporkan lalu pelaporannya juga menyajikan persamaan hasil taksiran dengan menempatkan kesalahan standar , dalam kurung di bawah masing-masing nilai taksiran parameter. Kemudian  melengkapinya dengan pencatuman nilai R² di sebelah kanan persamaan regresi tersebut.

           Beberapa pakar ekonomi sering menyertakan t-ratio dari koefisian taksiran sebagai pengganti kesalahan standar. Cara penyajian semacam  ini lebih memudahkan pengujian hipotesis, karena t-ratio langsung bisa dilihat dan dibandingkan dengan t-tabel.

Aplikasi (Penerapan)

Contoh 1:

Penetapan Interval Keyakinan

Misalnya, ingin ditetapkan suatu internal keyakinan (confidence internal) untuk α dan β pada tingkat probabilitas p = 0.95. dengan kata lain, ingin memperoleh nilai t yang membatasi 0,025 area di kedua sisi distribusi. Dengan derajat bebas = 18, lihat baris ke-18 dan kolom dengan tanda “0,025” pada table-t. Nilai pada koordinat adalah  2,101.

Oleh karena itu, 95% internal keyakinan untuk α dan β adalah :

92,95 – (2,101)(4,38) ≤ α ≤ 92,95 + (2,101)(4,38)

83,75 ≤ α ≤ 102,15

dan :   5,54 – (2,101)(0,34) ≤ α ≤ β ≤ 5,54 + (2,101)(0,34)

           4,38 ≤ β ≤ 6,25

Contoh 2:

Tabel berikut menyajikan produk nasional bruto (X) dan permintaan akan makanan (Y) diukur dalam satuan-satuan arbitrary. Data tersebut berasal dari sebuah negara berkembang, yang meliputi periode 10 tahun. taksirlah fungsi permintaan akan makanan Y = α + βX + U.

Tahun	1960	1961	1962	1963	1964	1965	1966	1967	1968	1969
Y	6	7	8	10	8	9	10	9	11	10
X	50	52	55	59	57	58	62	65	78	70

Jawaban :

Diketahui fungsi makanan: Y = α + βX + U selain perlu di estimasi fungsi makanan ini, juga perlu dihitung:

(i)        Koefisien determinasi

(ii)      Kesalahan standar taksiran regresi, dan

(iii)    Melakukan uji signifikansi pada tingkat signifikansi 5%.

Berdasarkan perhitungan dari table diatas diperoleh hasil sebagai berikut:

ƩXᵢ = 596, ƩYᵢ = 88, ƩXᵢYᵢ = 5325, ƩXᵢ² = 35916

n = 10;  Ʃxᵢyᵢ = 80,20;  ƩXᵢ² = 394,4;  Ʃyᵢ² = ƩYᵢ²-nῩ² = 21,60